L'étude de certaines variables aléatoires, comme les paramètres additifs
sur les arbres hyperquaternaires de points, ou encore le nombre de
maxima au sein d'un ensemble de n points indépendants, et uniformément
distribués dans [0,1]^d font apparaître des suites particulières, les
sommes harmoniques multiples (SHM), extensions des nombres harmoniques
classiques à des multi-indices .
Nos travaux visant à appliquer des méthodes symboliques pour l'étude de
ces variables aléatoires, nous remplaçons l'utilisation de multi-indices
par des codages sur des alphabets distincts, et nous appuyons alors sur
des résultats importants en combinatoire des mots pour les appliquer à
nos suites de SHM,et à leurs fonctions génératrices, des fonctions
polylogarithmiques. Dans les cas convergents, les deux objets convergent
(respectivement lorsque z tend vers 1 et lorsque N tend vers l'infini)
vers la même limite, le polyzêta zeta(). Pour les cas divergents,
l'utilisation de séries génératrices non commutatives nous permet
d'établir un théorème ``à l'Abel'', faisant apparaître comme limite
commune la série génératrice des polyzêtas convergents. Ce théorème
permet de donner une forme explicite aux constantes d'Euler généralisées
associées à des SHM divergentes et ainsi d'obtenir un algorithme très
efficace pour calculer leur développement asymptotique.
Finalement, nous proposons des applications des sommes harmoniques dans
le domaine des structures de données multidimensionnelles, pour
lesquelles notre approche donne naissance à des calculs exacts, qui
peuvent par la suite être aisément évalués asymptotiquement.
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